Айналу денелері

Семей қаласы «13 ЖОББМ» КММ
Математика пәні мұғалімі
Карпаева Меруерт Казбековна

Кілт сөздер: айналу денелері, цилиндр, конус, қиық конус, шар, сфера, көлем, аудан.
Аңдатпа: Бұл мақалада айналу денелерінің түрлері және оның қасиеттері туралы түсііндірілген.

Практикада  бізге фигураларды жазықтықта бұруға қарағанда, фигураларды  кеңістікте осьтен айналдыра бұру жиі кездеседі.

Біз күнделікті өмірде денелердің өз осінен айналуын бақылап, оған куә болып жүрміз.  Мысалы, Жер Күнді айнала қозғала отырып, оз осінен де айналады. Жер Күнді толық бір айналып өткен уақыт ішінде өз осінен 365 рет айналып үлгереді. Сонымен біз бірден екі қозғалысқа қатысамыз: бір тәулік ішінде   Жермен бірге оның осінен толық бір айналым жасасақ, бір жылда Күнді толық айналып өтеміз. Кеңістікте фигуралардың ішінде көпжақтардан басқа айналу денелері деп аталатын фигуралар ерекше орын алады. Айналу осьтері, әсіресе дөңгелек фигураларда – сферада, шарда, цилиндрде, конуста болады. Сондықтан оларды кейде айналу денелері деп те атайды.

Айналу денесінің осі арқылы өтетін кез келген жазықтық осы денемен қиылысады. Алынған қиманы осьтік қима деп атайды. Ол оське қарағанда симметриялы болады. Дербес жағдайда осьтік қима бір-бірінен бөлек, бірақ оське қарағанда симметриялы екі жазық фигурадан тұруы мүмкін. Айналу денесінің барлық осьтік қималары тең.  Айналу денелерінің негізінен цилиндар, конус, шар, сфера деп аталынатын түрлері бар.

«Цилиндр» — «кюлиндрос», грек тілінен аударғанда «оқтау», «валик» деген мағынаны білдіреді.Көптеген ғұламалар бұл денені зерттеумен айналысқан. Евклид өзінің «Бастамаларында» цилиндр көлемін табатын теореманы, Архимед өзінің «шар және цилиндр» жұмысында цилиндрбүйір бетінің ауданының формуласын, Герон өзінің «Метрикасында» цилиндр көлемін табуға бірнеше мысалдар келтірген. Бізді қоршаған ортада, тұрмыста цилиндр пішіндес заттар, обьектілер жиі кездеседі: металдан жасалған бөшкелер, консерві банкалары, хоккейдің шайбасы және т.б. Ал қазіргі кезде цилиндр өмірде көптеп кездеседі.

ААО1В тіктөртбұрышының ОО1 осіне параллель АВ қабырғасы цилиндрдің бүйір беті деп аталатын қисық бетті жасайды және ол цилиндрдің жасаушысы деп аталады. АО және О1В кесінділерінің айналуынан цилидірдің табандары деп аталатын өзара тең екі дөңгелек аламыз. Сонымен цилиндрдің беті цилиндрдің табаңдары деп аталатын екі дөңгелектен және цилиндрдің бүйір бетінен тұрады.

Егер цилиндрдің жасаушысы оның табанына перпендикуляр, яғни цилиндрдің биіктігіне тең болса, онда цилиндр тік дөңгелек цилиндр деп аталады. Дөңгелектер цилиндрдің табандары деп аталады, ал олардың радиусы цилиндрдің радиусы деп аталады. Дөңгелектердің сәйкес нүктелерін қосатын кесінділерді цилиндрдің жасаушылары деп атайды.

Цилиндрдің биіктігі деп табан жазықтықтарының ара қашықтығын атайды.

Цилиндрдің осі деп табандарының центрлерінен өтетін түзуді атайды. Егер цилиндрдің бетін табан шеңберлері бойымен және қайсыбір жасаушысының бойымен қиып алып жазып жіберсек, цилиндрдің жазбасын аламыз. Цилиндрдің жазықтықпен қимасы деп жалғыз нүктеден, цилиндрдің жасаушысынан немесе табанынан өзгеше фигураны, яғни цилиндр мен жазықтықтың ортақ бөлігін атайды. Мысалы:

1. Цилиндрдің осьтік қимасының ауданы 70см², ал биіктігі 7 см-ге тең. Цилиндрдің бетінің ауданын табыңыз.

AB=2R

AC=H=7 см

S_ABCD=AB*AC=70см²

2R*7=70

R=70:14=5cm

S_б.б=2RH=2*5*7=70

S_таб=R²=*5²=25

S_т.б=2 S_таб+ S_б.б=50+70=120

2. Цилиндрдің осьтік қимасының диогональдары өзара перпендикуляр. Қиманың периметрі 8а. Цилиндрдің бүйір бетінің ауданын табыңыз.

P_ABCD=8a

AB=2a, AC=2a

R=a,

S_б.б=2RH=2*a*2a=4a²

V=R²H

V=a²*2a=2a³

Тікбұрышты үшбұрышты катетінен  айналдырғанда шығатын фигура конус деп аталады.     Грек. Ronos- «қарағай  бүршігі»

Конустың төбесінен оның табан  жазықтығына жүргізілген перпендикуляр конустың биіктігі болады. Табан шеңберінің кез келген нүктесін конустың төбесімен қосатын кесінділердің проекциялары тең, сондықтан олар – тең кесінділер. Бұл кесінділер конустың жасаушылары деп аталады. Конустың бүйір беті де конустық бет деп аталады. Табаны дөңгелек болып келетін және оның биіктігінің табаны дөңгелектің центріне дәл түсетін конусты тік дөңгелек конус деп атаймыз.

Тік емес конустар мектеп курсында қарастырылмайды. Бұл конус айналу денесі болмайды.

Конус табанының радиусы   R жасаушысының  ұзындығы l  ал биіктігі H болсын. Пифагор теоремасына сәйкес бұл шамалар   l ²= R² +H²  

Конустың бүйір бетінің ауданы оның табан шеңберінің ұзындығы мен жасаушының көбейтіндісінің жартысына тең, яғни S   = πRl R- конус табанының радиусы,          l-конустың жасаушысы.

S   =  πRl+πR² = πR(l+R),   R- табанының радиусы,   l-конустың жасаушысы.

Бізге призманың көлемі табанының ауданынын оның биіктігіне көбейткенге тең екені белгілі. Призма мен цилиндрдің ұқсастығынан цилиндрдің көлемі де табанының ауданы мен оның биіктігінің көбейтіндісіне тең деп алуымызға болады. V_ц = SH       V_ц   =  πR²H

Конустың көлемін есептегенде, оның пирамидамен ұқсастығын ескеріп, конустың көлемі табанының ауданы мен биіктігінің көбейтіндісінің үштен біріне тең,     V _к  =  SH V_к  =    πR²H

Конустың қайсыбір екі жасаушысын қамтитын екі түзу арқылы бір ғана  жазықтығын жүргізуге болады. Бұл жазықтық конустың табанын хорда бойымен, ал бүйір бетін екі жасаушы боймен қиып өтеді. Аталған жазықтық пен конустың ортақ бөлігі теңбүйірлі үшбұрыш болып табылады.  Егер α жазықтығы конустың осі арқылы өтсе, онда қимада пайда болған үшбұрыш конустың осьтік қимасы деп аталады. Егер конустың бүйір бетін табанымен қиылыспайтын және конустың осіне перпендикуляр емес жазықтықпен қиып  өтсек, онда қимада элиппс аламыз.

Конустың табаны мен табанына параллель қиманың арасындағы бөлігі қиық конус деп аталады. қиық конустың бір табанының қайсыбір нүктесінен екінші табан жазықтығына түсірілген перпендикуляр қиық конустың биіктігі деп аталады.Конустың бүйір бетінің ауданының формуласы бойынша

S_{қ.кон.б.б.} = πl(R+r)

Қиық конустың бүйір бетінің ауданы табан шеңберлерінің қосындысының жартысы мен жасаушының көбейтіндісіне тең

S_{қ.кон.б.б.} = *l=*l

S_{қ.кон.б.б.} = πl(R+r)+πR²+πr²

Мұндағы l-жасаушы, ал   r – мен  R  — конус табандарының радиустары.

Мысалы:

1. Конустың жасаушысы 12 дм және табан жазықтығына 300 бұрышпен көлбеген. Конустың биіктігін табыңыз.

Sin300=H/L,     1/2= H/12 ,     H=6 ,                               Жауабы: 6 (дм)

2. Конустың биіктігі 20 см, табанының радиусы 15 см. Бүйір бетінің ауданын табыңыз.

Sк.б.б. =ПRL

L2= H2 +  R2 = 400 + 225 = 625,  L= 25см

Sк.б.б. =П* 15* 25 = 375 П см2,                                       Жауабы: 375 П см2

3. Конустың жасаушысы 5 см, табанының радиусы 4 см. Толық бетінің ауданын табыңыз.

Sк.тол.беті =ПRL + ПR2

Sк.б.б. =П * 4 *5 = 20 П,

Sтаб =П * 42= 16П

Sк.тол.беті = 20П + 16П = 36П                                          Жауабы: 36П (см2)

Айналу денелерінің келесі бір түрі сфера және шар жазықтықтағы шеңбер мен дөңгелектің кеңістіктегі бейнелері. Берілген нүктеден белгілі бір қашықтықта орналасқан кеңістіктің барлық нүктелерінен тұратын фигура сфера болады. берілген нүкте сфераның центрі, берілген қашықтық сфераның радиусы. Сонымен центрі О нүктесі және радиусы болатын осы О нүктесінен арақашықтықтағы радиусқа тең барлық нүктелерден тұратын геометриялық фигура. Сфераның бойында жатқан кез келген екі нүкте арқылы сфераның хордасы болса, осы сфераның центрі арқылы өтетін хордасы сфераның диаметрін береді. Сфераны осы шеңберді оның диаметрі жатқан түзуден айналдыру арқылы аламыз.

Ал, берілген нүктеден берілген қашықтықтан аспайтын кеңістіктің барлық нүктелерінен тұратын фигура шар болады. берілген нүкте шардың центрі, ал берілген қашықтық шардың радиусы. Шардың радиусын шардың центрін оның бетінде жатқан қандай да бір нүктесімен қосатын кесінді арқылы шығарамыз. Сонда шар дегеніміз центрі О нүктесі және радиусы болатын шар осы О нүктеден арақашықтығы радиустан аспайтын кеңістіктің барлық нүктелерінен тұратын геометриялық фигураның бір түрі. Шардың хордасы шардың бетінде жатқан кез келген екі нүктені қосатын кесінді. Шардың центрі арқылы өтетін жазықтықпен қимасы үлкен дөңгелек дейтін фираға тең. Шарды осы дөңгелекті оның диаметрі жатқан түзуден айналдыру арқылы аламыз. Шардың центрі арқылы өтетін хорда ереже бойынша оның диаметрі деп аталынады.  Берілген шардың центрімен және радиусымен бірдей болатын фигура шардың беті делінеді.

Шар мен сфераға қатысты мысал есептерге көз жүгіртсек:

1. Шардың өзара перпендикуляр екі қимасының ортақ хордасының ұзындығы 12 см. Қималардың аудандары 100және 64болса, шардың радиусын табыңыз.

S₁=100   R₁=10

S₂=64     R₂=8

AB=12 см.

AKD;  KD²=AD²-AK²

KD²=100-36=64

KD=8

BKC

KC²=BC²-KB²

KC²=64-36=28

KC=2

DKO;

KO²=KD²+DO²

KO²=64+28=92

AKO

AO²=AK²+KO²

AO²=36+92=128

R=

2. Сфера центрінің бір жағында орналасқан, сфераны қиятын параллель жазықтықтардың қималарының ұзындығы 10 және 24. Жазықтықтардың арасы 7 см болса, сфера бетінің ауданын табыңыз.

AB=7, C₁=10 , C₂=24.

S_сфера-?

2R₁=10

AC=R₁=5

2R₂=24.

BD=R₂=12

AOC;

BO=x

AO=x+7

OC²=AO²+AC²=(x+7)²+25
BOD

OD²=BO²+BD²=x²+144

OC=OD=R

(x+7)²+25= x²+144

X²+14x+49+25=x²+144

14x=70

X=5

R²= x²+144=25+144=169

R=13

S=4*R²=4*169=676

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. В.Гусев Ж. Қайдасов Ә.Қағазбаева «Геометрия» оқулық – 11 класс
2. В.Гусев Ж. Қайдасов Ә.Қағазбаева «Геометрия» — есептер жинағы
3. Смирнов О. Г. «Геометрия» оқулық – 11 класс