Теңсіздіктердің тепе-теңдігі туралы түсінік

Байгазиев Роман Фазылович
Астана қаласы әкімдігінің
«Шәкәрім атындағы №56 мектеп-лицей»
математика пәнінің мұғалімі

Теңсіздіктердің тепе-теңдігі туралы түсінік

Қазіргі заман математика ғылымының өте кең тараған кезеңі. Ал талапқа сай математикалық білім берудің басты шарты математикалық мәдениеттің  деңгейін көтеру болып табылады.

Теңсіздіктер мен теңсіздіктер жүйесін шешу мектеп курсындағы математика пәнінің ең өзекті де, ең ауқымды тақырыптарының бірі. Қазіргі таңда теңсіздіктер тақырыбы тіпті бастауыш сыныптарда «сандарды салыстыру», «өрнектердің мәнін салыстыру» және логикалық есептерді де сандарды салыстыру арқылы шығарады. Одан әрі «Теңсіздік» тақырыбы күрделеніп, мағынасы кеңейе түседі. Күрделі теңсіздіктерді шешу кезінде тепе-теңдік ұғымы негізгі ұғым болып табылады және бұл біздің жұмысымызда үлкен рөл атқарады. Мақсат: кез-келген адамға күрделі теңсіздіктерді анық, ықшам, тез және қарапайым тәсілдермен шешуге көмектесу. Ерекшелігі: күрделі теңсіздіктерді шешу кезінде тепе-теңдік шарттарын пайдалана отырып, күрделі көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктерді қарапайым рационал теңсіздіктерді шешуде жаңа әдісті қолданамыз.

Бұл әдісте көрсеткіштік немесе логарифмдік функцияның негізінің бірден үлкен немесе кіші екендігін ойламаймыз. Бұл тепе-теңдік шарттарын пайдаланудың артықшылығы мен тиімділігі, бір қадам жасау арқылы біз логарифмнің немесе көрсеткіштік функцияның негізінен құтыламыз, ал енді, көрсеткіштік немесе логарифмдік функцияның негізі рационал функция болса, онда классикалық интервалдар әдісін қолдауға болады. Бұл әсіресе ҰБТ есептерін шешуге уақыт шектеулі болған кезде өте маңызды.

Теңсіздіктер мен теңдеулерді шешу кезінде тепе-теңдік ұғымы негізгі ұғым болып табылады, ал бұл біздің жұмысымызда маңызды роль атқарады.

Х жиынында  және  теңсіздіктері тепе-тең деп аталады, егер Х жиынына тиісті бірінші теңсіздіктің әрбір шешімі екінші теңсіздіктің шешімі болса және, керісінше Х жиынына тиісті екінші теңсіздіктің әрбір шешімі бірінші теңсіздіктің шешімі болса, немесе Х жиынында екі теңсіздікиің де шешімдері болмаса. Осылайша, теңсіздіктер Х жиынында тепе-тең деп аталады, егер осы теңсіздіктердің шешімдерінің жиындары сәйкес келсе. Демек бұдан, берілген теңсіздікті шешудің орнына, оған тепе-тең кез-келген теңсіздікті шешуге болатындығы шығады. Х жиынында берілген теңсіздікті оған тепе-тең теңсіздікпен ауыстыру, Х жиынындағы тепе-тең түрлендіру деп аталады. Тепе-тең түрлендіру қос стрелкамен белгіленеді: ⇔. Егер f(х) > 0 теңсіздігі g(х)  теңсіздігіне тепе-тең болса, онда оны келесідей белгілейміз: f(х) > 0 ⇔ g(х) .

Тепе-тең қатынасқа әкелетін негізгі операцияларды атап өтейік.

1. Егер f(x), g(x), һ(x) функциялары Х жиынында анықталған болса, онда Х жиынында

f (x) < g (х) ⇔ f (х) + h (x) < g (x) + h (x)

2. Егер Х жиынында һ(x) >0 болса, онда Х жиынында

f(х) < g(x) f (х) · h (x) < g (x) ⸱ h(x)

яғни, теңсіздікті оң функцияға көбейту кезінде теңсіздік белгісі өзгермейді.

3. Егер Х жиынында һ(x) < 0 болса, онда Х жиынында

f(x) < g(х) ⇔ f(х) · h(x) > g(x) ⸱ h(x)  яғни, теңсіздікті теріс функцияға көбейту кезінде теңсіздік белгісі қарама-қарсыға өзгереді.

4. Егер Х жиынында f(x) ≥ 0, ⇔ g (x) ≥ 0 болса, онда Х жиынында

f(х) < g(х)  ⇔ f ²(х)  g² (х),

f(х) ≤ g(х) ⇔  f ²(х) ≤ g² (х)

яғни, егер теңсіздіктің екі жағы да теріс болмаса, онда теңсіздіктің екі жағын да квадраттау (немесе кез-келген жұп дәрежеге шығару) тепе-тең теңсіздікке әкеледі.

Егер теңсіздіктің сол және оң жақтары әртүрлі таңбаларға ие болса, онда оны квадраттауға болмайды, өйткені квадраттау тепе-тең теңсіздікке де, тепе-тең емес теңсіздікке де әкелуі мүмкін: – 4 < 5 және 16 < 25, – 7 < 5, бірақ 49 > 25.

Теңсіздіктер, теңсіздіктер жүйесінің, теңсіздіктер бірігуінің мүмкін мәндер жиыны (ММЖ), осы теңсіздіктер, теңсіздіктер жүйесіне, теңсіздіктер бірігуіне тиісті барлық функциялардың анықталу облыстарының қиылысу жиыны деп аталады. Егер қандай да бір арнайы шарттар айтылмаса, онда Х жиынында жүргізілетін тепе-тең түрлендірулер әрқашан ММА дегенді білдіреді.

түріндегі бөлшектері бар теңсіздіктерді шешкен кезде, біз көбінесе мүмкін мәндер аймағына g(x) ≠ 0 шартын қоспаймыз, өйткені біз осы нүктелерді автоматты түрде алып тастайтын шешу әдістерін қолданамыз.