«Ең үлкен және ең кіші мүмкін мәнді табу» есептерін шешу әдістемесі

Хазез Мейрам
Нұр-Сұлтан қаласының № 9 «Зерде»
  мамандандырылған мектебінің
 математика пәнінің мұғалімі,
  математика ғылымдарының  магистрі,
 педагог-зерттеуші

«Ең үлкен немесе ең кіші мүмкін мәндерді табу» есептерінің маңызы

Мазмұны тұрғысынан:

1. Функция немесе өрнектің ең үлкен, ең кіші мәнін табу есептерінен өзгеше.
2. Мүмкіндіктер есебінің құрамдас бөлігі ретінде қарастырылады.
3. Терең логикалық, күрделі мазмұнымен математика олимпиадасында маңызды орын иеленеді.
4. Теориялық және әдістемелік жағынан зерттеп жүйелеуді қажет етеді.

Әдіс тәсіл тұрғысынан:

Әр қилы қызықты да шығармашылық ойлауды талап ететін әдіс тәсілдерді қамтиды.

1. Статистикалық әдіс тәсілдер

• Арифметикалық орта және орташадан ауытқуды есептеу,
• Экстремум немесе максимум, минимум мәндерді бағалау.

2. Мүмкіндіктерді есептеу

• Комбинаторикалық есептеулер жасау,
• Дирихле принципін қолданып қортынды жасау.

3. Логикалық қортындылар жасау

• Математикалық логика принциптерін қолдану,
• Логикалық есептер шығару алгоритмін керектену.

Мысал -1 (2009 РМО- V кезең , 9-11-сынып)

Шахмат турниріне n адам қатысқан. Барлық турнир бойынша әр ойыншы басқаларымен бір-ақ рет ойнайды.   Әр партияда жеңіс 1 ұпай, теңессе 0,5 ұпай, жеңілсе 0 ұпай есептеледі. Турнир соңында максимал ұпайдың 75%-ынан кем емес ұпай жинаған ойыншыға дәреже берілетін болса дәреже алатын қатысушылар санының ең үлкен мүмкін мәнін табыңыз: а)  n=11 болғанда б)  кез келген  n  үшін

Шешімі:     б) «Дәреже қорғағандар» санын  k  десек, қорғай алмағандар саны  n – k.   Барлық ойын саны  n(n — 1)/2.   Бір ойыншының жинайтын ұпай санының ең үлкен мүмкін мәні  n – 1.  Оның  75%-ы  (n — 1)·3/4 – ға  тең болады.  k  ең үлкен мән қабылдау үшін:

1. Дәреже қорғаушылардың әр қайсысы қалған ойыншыларды жеңу
2. Дәреже қорғайтындар өзара ойнағандағы жинайтын ұпайлардың айырмасы мейілінше аз болуы шарт.
3. Дәреже қорғайтындардың жинаған ұпайларының қосындысы; (n – k)·k + k(k – 1)/2 ≥ k·(n – 1)·3/4 теңсіздігін қанағаттандыруы қажет.

Бұдан   k ≤ (n + 1)/2  немесе  болады.

Мысал -2 (2010 — РМО,  ІІI кезең,  10-11-сынып)
Екі жағының түсі әртүрлі   n  дойбы тасы берілген (n>2). Әрбір дойбы тасының бір жағы-көк түсті, ал екінші жағы- қызыл түсті (реверси ойынына арналғандай). Осы тастар дұрыс n  бұрыштың төбелеріне бір бірден қойылған. Осындай кез келген қойылым конфигурация деп аталады.  Бір жүрісте қатар тұрған үш дойбы тасын төңкеруге болады.  Ақырлы жүрістер тізбегін қолданып, бастапқы конфигуациядан қанша әртүрлі конфигурация алуға болады? (Егер екі конфигурация ең болмағанда бір төбедегі тастарының түсі әртүрлі болса, әртүрлі болады)

Нұсқау:  Әр төбеге дойбы орналастырудың екі мүмкіндігі болатындықтан және бір жүрісте үш  дойбы тасы төнкерілетінін ескеріп , ізделінді санды a    десек:  болатынына көз жеткіз. n>2  кезде             болатыны түсінікті. n=4 және n=5 кездерде есеп шарты бойынша жүріс жасау арқылы сәйкесінше a=16, a=32 нәтижелерді алуға болады. n=4 кезде алғашқы орналасудан барлық мүмкін жағдайға келуге болатынын тексеріп. Бұдан жалпы қортынды жасаймыз. Жауабы:  n=3 болса a=1,  n>3  болса  a=  болады.