Білім айнасы газеті Республикалық газет Кейбір есептерді шешуде қолданылған амал тәсілдер сол есептерде қолданылып ғана қоймай алгебра, геометрия, сандық теория және ықтималдық теория есептерінде де пайдаланылатын ерекшеліктер болады.Мұндай амал тәсілдерге математикалық индукция әдісі, Дирихлей принципі және граф әдістері т.б жатқызуға болады.Осы әдіс тәсілдермен танысып, оларды меңгеру есеп шығаруда өте тиімді.Жоғарыдағы әдіс тәсілдердің қатарына жатқызуға болатын тәсілдердің бірі есептің қандай бір мәнінің ең үлкен және ең кіші элементін алып, нәтижеге жетуге болатын тәсілмен танысайық.Басқаша айтқанда есептегі қандай бір шаманың ең үлкен немесе ең кіші мәнге ие болатын элементін қарап көрумен әр түрлі есептердің шешілу жағдайлары көптеп кезеседі.Енді есептерге қалай қолдануға болатынын қарап көрейік.
Есеп 111…1⏟? санына бөлінетін , цифрларының қосындысы m –нен кіші болатын натурал сан табыла ма?
Шешуі : Есептің шартын қанағаттандыратын натурал сан бар деп көрейік. Осы сияқты сандардың ішінен ең кішісі бар болады.Оны Р=?110n +…+?? дейік. Бұдан n≥? ,болатын Р1 =Р-(10? — 10?−? ) сандарының цифрларының қосындысы Р ден кіші және 111…1⏟? санына бөлінетіндіктен Р санын таңдауымызға қайшы болады.Сондықтан есептің шартын қанағаттандыратын натурал сандардың жиыны бос жиын.
Есеп Радиусы 1 болатын шеңбер ішіне әрбір екеуінің арақашықтығы 1-ден кіші емес 7 нүкте берілген.Осы нүктелердің қайсы біреуі шеңбердің центріне беттесетінін дәлелде!
Шешуі: Керісінше О1 ,О2, …О7 нүктелердің кез- келгені шеңбердің центрі О нүтесіне беттеспейді дейік,Олай болса ےО1ОО2+ےО2ОО3+…+ےО7ОО1 =3600 болатындықтан бұрыштардың ең кішісі әрқашан 600 –тан кіші.
ےО1ОО2<60 дейік.Олай болса О1ОО2 үшбұрышы үшін
ےОО1О2> 600 >ے О1ОО2 болумен қатар О1О2<ОО2 ≤1 болып есеп шартына қайшы (егер ےО1ОО2=00 болса О1О2<1 болатыны айқын)
Осылайша О1 ,О2, …О7 нүктелердің кез келгені О нүктесімен беттеседі.
Есеп {?1+?2=?32?2+?3=?42?3+?4=?42?4+?5=?52?5+?1=?22 теңдеулер жүйесінің барлық оң шешімін тап.
Шешуі : хі , і =1,5̅ сандарының ең үлкен және ең кішісін сәйкесінше Х,У деп белгілейік Олай болса Х2≤2Х , У2≥2У болады.Х,У>0, 2≤У≤Х≤2 болатындықтан ?1=?2=?3=?5=2 жалғыз ғана шешіі болады.
Есеп АВС үшбұрыштың АВ,ВС,СА қабырғаларынан сәйкесінше С1,А1,В1 нүктелері берілген. Егер АА1, ВВ1,СС1 кесіндісінің ұзындығы 1-ден артық болмаса АВС үшбұрышының ауданы 1/√3 -тен артық болмайтынын дәлелде!
Есеп 1,2,…200 сандарынан 16- дан кіші бір сан басқадай әртүрлі 99 сандарды таңдап алғанда арасынан бірі екіншісіне бөлінетін екі сан табылатынын дәлелде!
Есеп Әрбір тетраэдр үшін барлық жазық бұрыштары сүйір болатын үшжақты бұрыш табылатынын дәлелде!
Есеп Үшбұрыштың биссектрисаларының ұзындығы 1 ден артық болса оның ауданы 1/√3 артық болатынын дәлелде!
Есеп Жазықтықта бір түзуде жатпайтын n≥3 нүкте берілген.Олардың әрқайсысы ішкі аймағында орналаспаған, әрбір үш нүкте бойында болатын шеңбер табылатынын дәлелде!
Қолданылған әдебиеттер:
1.В.В.Прасолов «Задачи по планиметрии часть» ІІ Наука 1986
2.Г.А.Галперин А.К.Толпыго «Московские математические олимпиады» 1986
3.Н.В.Васильев А.А Егоров «Задачи всесоюзных математических олимпиад» Наука 1988
№7 мектеп гимназиясының
математика пән мұғалімі : Мухамбет.А
Астана қаласы 2017 ж
